1、首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述： 单摆受到的重力矩为： M = - m * g * l * Sin x. 其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

2、 我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。

(资料图片)

3、由力矩与角加速度的关系不难得到， M = J * β. 其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x"（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

4、 于是化简得到 x" * l = - g * Sin x. 我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程 x" + Sin x = 0. 因为单摆的运动方程（微分方程）是 x" + Sin x = 0…………（1） 而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是 x" + x = 0………………（2） 我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。

5、所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

6、 不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。

7、（这里取的是弧度制。

8、即当x -> 0时有Sin x / x = o(1)。

9、）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

10、 然后说一下为什么是5°。

11、由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

12、 事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。

13、在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。

14、但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

15、 由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。

16、如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

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